Make your own free website on Tripod.com

פרופ' זאב בנימין אלפסי

סטטיסטיקה, הסתברות, תכנון ליניארי והנדסה אנליטית (ל- 3 יחידות)

Статистика, теория вероятности, линейное программирование и аналитическая

геометрия (на 3 единицы обучения). Проф. Зеев Беньямин Альфаси

 

3.Аналитическая геометрия

3.1.Точка и прямая

3.1.1.Точка

Точка на плоскости описывается с помощью двух значений, характеризующих ее местоположение. После выбора точки относимости - начала координат и направления относимости (положительного направления оси х) возможно описание точки на плоскости двумя способами:

1. посредством ее расстояний от двух перпендикулярных прямых. Две эти прямые называются осями х и у, а точка пересечения этих двух перпендикуляров именуется точкой начала координат. Проводя перпендикулярную к х ось через начало координат, получают ось у. (Рис. 3.1 точка начала координат) Однозначное описание точки возможно с помощью длин перпендикуляров, опускаемых из данной точки на наши оси, а это и есть координаты х и у точки (х, у). Расстояние от оси х есть координата у и наоборот. Точка А обозначается ее координатами (хА, уА). Левое значение это всегда координата х точки.

2. посредством расстояния от начала координат до точки (радиус-вектор точки) - r и угла j, образуемого радиусом-вектором с положительным направлением оси х. В такой системе точка записывается так : (r , j). (Рис. 3.2)

Первое описание именуется системой декартовых (или - прямоугольных) координат, второе - полярной системой координат. Учебный материал на аттестат зрелости содержит использование только системы декартовых или прямоугольных координат, поэтому мы займемся только ею.

3.1.2. Расстояние между двумя точками

Даны две точки А и В и их координаты А, уА) и В, уВ). Расстояние d между двумя этими точками можно определить с помощью теоремы Пифагора. (Рис. 3.3)

AD = yA, CD=BE = yB, AC = AD - CD = yA - yB, BF = xB, CF=AG = xA, BC = BF - CF= xB - xA

d = (AC2 + BC2) = (( yA - yB)2 + (xB - xA)2) или d = (( yB - yA)2 + (xA - xB)2)

Обратим внимание на то, что не важно какая из двух есть точка А, а какая - В, поскольку ( yA - yB)2 = ( yB - yA)2 , и то же самое имеет место для координаты х.

d = (( xB - xA)2 + (yB - yA)2) (1)

1.Найди расстояние между точками (3, 5) и (2, 1).

d = (( x2 - x1)2 + (y2 - y1)2) = ((3 - 2)2 + (5 - 1)2) = 17.

2.Найди расстояние между точками (0, 1) и (4, -2).

d = ((4 - 0)2 + (-2 - 1)2) = (42 + 32) = 5.

3.Найди расстояние между точками (3, 10) и (-2, -2).

d = ((3 + 2)2 + (10 + 2)2) = (52 + 122) = 13.

Единицы. В аналитической геометрии у расстояний нет особых единиц измерения, они тождественны единицам расстояния на осях координат. Т.е. мы можем сказать, что расстояния измеряются в см, дециметрах, метрах и т.п. при условии, что эти единицы соответствуют расстоянию между 0 и 1 на осях.

3.1.3. Нахождение середины отрезка по координатам его концов

Отрезок есть прямая линия, определяемая двумя точками на концах его. В этом параграфе мы изучим вычисление по координатам концов отрезка координат срединной его точки, т.е. координат точки, которая делит отрезок на два отрезка равной длины. (Рис. 3.4) Рассмотрим отрезок АВ и обозначим его срединную точку через М. Опустим из В, из А и из М перпендикуляры на ось х, а также из А - перпендикуляр на перпендикуляр, опущенный из В(прямая, параллельная х). Перпендикуляры МР и BQ есть параллельные прямые, секущие стороны угла BAQ, а значит они отсекают пропорциональные отрезки на сторонах угла. Иначе говоря, выполняется равенство AM/BM = AP/PQ, PQ = xB - xA , AP = xM - xA .

Мы ищем точку М, для которой справедливо АМ = ВМ, т.е. АМ/ВМ = 1. Отсюда

(xM - xA )/(xB - xM ) = 1.

 

Вместо использования пропорции мы можем получить эту формулу также из теорем о средней линии в треугольнике. МР есть прямая, которая делит пополам сторону АВ и параллельная BQ. Поэтому МР есть средняя линия в треугольнике АВQ, которая делит пополам и сторону AQ. Отсюда AP =AQ. Получим xM из этого уравнения: xM - xA = xB - xM , 2xM = xB + xA

xM = (xA + xB)/2 (2)

Для определения координаты у точки М проведем перпендикуляры к оси у (или воспользуемся предыдущим рисунком вместе с теоремой, говорящей о том, что отрезки, образованные на параллельных линиях, секущих стороны угла, также являются пропорциональными). (Рис. 3.5) (yB - yM )/(yM - yA ) = BM/AM. Т.к. BM = AM:

yM = (yA + yB)/2 (3)

И здесь можно было получить эту формулу с использованием средней линии треугольника вместо теорем подобия. Итак, координаты точки середины отрезка есть средние арифметические координат точек его концов( и х, и у).

1. Найди координаты середины отрезка с концами в точках (1, 3) и (7, 1).

Решение. Воспользуемся уравнениями (2) и (3).

xM = (x1 + x2)/2 = (7 + 1)/2 = 4; yM = (y1 + y2)/2 = (1 + 3)/2 = 2.

Ответ. Точка середины есть (4, 2).

2. Дан отрезок АВ, координаты концов которого А = (4, 1) и В = (8, 13). Найди координаты трех точек, которые делят отрезок АВ на четыре равные части.

Решение. Обозначим точки деления через C, D и E в соответствие с рисунком:

 

 

 

 

 

 

 

 

A C D E B

Точка D делит отрезок АВ на две равные части, и поэтому

xD = (xA + xB)/2 = (4 + 8)/2 = 6; yD = (yA + yB)/2 = (1 + 13)/2 = 7.

Точка C есть середина отрезка АD, и поэтому

xC = (xA + xD)/2 = (4 + 6)/2 = 5; yC = (yA + yD)/2 = (1 + 7)/2 = 4.

Точка E есть середина отрезка DВ, и поэтому

xE = (xD + xB)/2 = (6 + 8)/2 = 7; yE = (yD + yB)/2 = (7 + 13)/2 = 10.

Ответ. Координаты искомых точек : (5, 4), (6б 7), (7, 10).

3.1.4. Уравнение прямой - явное уравнение

Геометрические места и их описание посредством уравнения. До сих пор мы занимались отдельной точкой или двумя точками. Когда же у нас есть бесконечное количество точек, обладающих неким специфическим свойством, вроде прямой линии или точек на окружности, мы будем говорить о геометрическом месте. Точка описывается с помощью двух координат - ее значений х и у. Геометрическое же место описывается с помощью уравнения, которое связывает координаты х и у всех соответствующих точек.

1. Характеристикой всех точек окружности(и только их) является то, что их расстояние от заданной точки центра есть постоянная величина - длина радиуса. Этот факт мы можем трансформировать в уравнение, связывающее координаты х и у всех точек окружности. (Рис. 3.6) Выберем на ней произвольную точку с координатами (х, у). Поскольку эта точка является общей, и ее координаты х и у - общие, а не некоторые заранее определенные значения. Если центр окружности М находится в точке (a, b) , а длина радиуса есть r , то согласно формулы расстояния между двумя точками (уравнение (1)) справедливо следующее равенство : AM = ((x - a)2 + (y - b)2) = r , или (x - a)2 + (y - b)2 = r2 . Мы получили уравнение, которое связывает координаты х и координаты у всех точек на окружности.

2.Прямая однозначно определяется двумя точками А и В, которые лежат на ней. Можно найти уравнение, характеризующее все точки на прямой (обозначим такую произвольную точку через (х, у)) путем подстановки одного из свойств прямой в соотношение между двумя указанными точками А и В и этой общей точкой.

Одно из свойств прямой состоит в том, что соединение любых двух точек на ней дает одну и ту же линию, образующую одинаковый угол с осью х. Воспользуемся тем, что тангенс угла, образованного прямой линией, соединяющей точки А и В, с положительной осью х(это короткое название вместо более точного: положительный луч(-ое направление) оси х) дается формулой(Рис. 3.7):

m = tga = (yB - yA)/ (xB - xA) (4)

Если соединить точку общего положения с точкой А , полученная прямая даст указанный угол, и поэтому tga = (y - yA)/ (x - xA) = (yB - yA)/ (xB - xA), или :

y - yA = ((yB - yA)/ (xB - xA))(x - xA) (5)

В уравнении (4) мы обозначили m = (yB - yA)/ (xB - xA), и после подстановки получим:

y = mx + yA - mxA (6)

Т.е. каждая прямая будет соответствовать уравнению, в которое х и у входят только в первой степени. Т.е. уравнению вида

y = mx + n (7)

где n = yA - mxA .

Любая прямая линия не ортогональная оси х описывается общим уравнением вида уравнения (7). Это уравнение первой степени, т.е. такое, в которое и х , и у входят только в первой степени. Можно также доказать и обратное утверждение: любое уравнение вида y = mx + n описывает некую прямую линию. Уравнение (7) называют явным уравнением прямой. Согласно тому, что мы видели ранее, это уравнение описывает все прямые, кроме прямых, перпендикулярных оси х. На таких прямых xB - xA, а потому возникает деление на 0. Для таких прямых действительно уравнение другого вида : х = а.

Смысл значения m раскрывает уравнение (4). m равно значению тангенса (tg) угла, который наша прямая образует с положительным направлением х. m называют угловым коэффициентом прямой. Параллельные прямые образуют одинаковый угол с положительным направлением х, и поэтому у параллельных прямых есть одинаковое значение m. m и n называются постоянными или параметрами уравнения прямой.

Смысл n - из уравнения (7) - можно увидеть при подстановке х = 0 в это уравнение. х = 0 у = n. Т.е. n есть координата у точки с координатой х, равной нулю. Иными словами n есть значение(координата) у точки пересечения прямой и оси у. (Рис. 3.8)

3.1.5. Нахождение уравнения прямой по координатам двух точек на ней

Объединение уравнений (4) и (5) дает нам уравнение прямой, угловой коэффициент которой m, и проходящей через данную точку 0, у0).

y - y0 = m(x - x0) (8)

Можно найти уравнение прямой, если известны координаты двух точек на прямой. Это можно сделать посредством подстановки координат двух точек в уравнение (5), но удобнее - последовательными шагами, используя уравнения (4) и (8). Уравнение (8) имеется и на страничках формул экзаменов на аттестат зрелости, в то время как уравнение (5) там отсутствует.

Первый шаг. Нахождение углового коэффициента прямой из уравнения (4):

m = (yB - yA)/ (xB - xA) (4)

Второй шаг. Подстановка углового коэффициента m и координат одной из точек (А или В) в уравнение (8). Воспользуемся, для примера, точкой А:

y - yA = m(x - xA) (8)

Другой путь - чуть менее удобный, но требуется помнить меньше формул, - использует явное уравнение прямой (7):

y = mx + n (7)

Подставим координаты двух точек в это уравнение. Т.е. yA = mxA + n, yB = mxB + n .

Два параметра уравнения прямой находятся решением двух уравнений с двумя неизвестными m и n.

Пример. Найди уравнение прямой, проходящей через точки (1, 3) и (3, 7).

Решение. Решим задачу сперва первым способом. Первый шаг - нахождение углового коэффициента m. m=(yB - yA)/(xB - xA)=(7- 3)/(3 - 1)=2.

Второй шаг - подстановка в уравнение (8) координат первой точки.

у - 3 = 2(х - 1) у - 3 = 2х - 2 у = 2х + 1.

Ответ. Уравнение нашей прямой есть у = 2х + 1.

Теперь решим эту задачу вторым способом. Уравнение прямой есть y = mx + n.

Поэтому для точки (1, 3) имеет место 1m + n = 3 (I)

А для точки (3, 7) - 3m + n = 7 (II)

Вычитаем из второго уравнения первое и получаем 2m = 2 m = 2.

Подставим полученный результат в (I) и получим 2 + n = 3 n = 1.

И здесь уравнение заданной прямой у = 2х + 1.

Особые случаи

1. Когда yB = yA , то получается m = 0, а после подстановки в уравнение (8) получим y - yA = 0, а поэтому уравнение прямой есть y = yA.

2. Когда xB = xA , мы не можем вычислить m из уравнения (4), поскольку знаменатель выражения равен нулю. Поскольку xB = xA , то мы имеем дело с прямой, перпендикулярной оси х, а уравнение ее будет x = xA.

3.1.6. Нахождение уравнения прямой по ее угловому коэффициенту m и точке А на ней

Сперва выясним, почему эта задача нам интересна. Или - как узнать заранее угловой коэффициент прямой. В двух случаях мы можем узнать его:

a).если дан угол α, который данная прямая образует с осью х. В этом случае уравнение (4) дает нам :

m = tgα (4)

b).когда мы знаем, что требуемая прямая параллельна данной прямой с известным нам угловым коэффициентом(очень распространенный случай). Две параллельные прямые образуют одинаковый угол с положительным направлением оси х(соответственные углы с параллельными прямыми). Поэтому у искомой прямой и у данной прямой будет одинаковый угловой коэффициент m.

с).Еще одним случаем, когда искомая прямая перпендикулярна данной, мы займемся позднее.

В двух первых случаях уравнение прямой находится из уравнения (8):

y - y0 = m(x - x0) (8)

где m есть данный угловой коэффициент, а координаты заданной точки - (x0 , y0).

1. Найди уравнение прямой, проходящей через точку (2, 4) и образущей угол 76 с положительным направлением оси х.

Решение. Из уравнения (4) m = tg76 = 4.01. Подставим m и координаты данной точки в уравнение (8):

у - 4 = 4.01(х - 2) у - 4 = 4.01х - 8.02 у = 4.01х - 4.02.

Ответ. у = 4.01х - 4.02.

2. Найди уравнение прямой, проходящей через точку (2, 4) и параллельную прямой у = 5х - 2.

Решение. Т.к. искомая прямая параллельна данной прямой, то у нее должен быть тот же угловой коэффициент, а отсюда нам известно, что m = 5. Подставим теперь и координаты данной точки в уравнение (8): у - 5 = 5(х - 3) у - 5 = 5х - 15 у = 5х - 10.

Ответ. у = 5х - 10.

3.1.7. Точка пересечения двух прямых

Точка пересечения двух прямых удовлетворяет как уравнению первой прямой, так и уравнению второй прямой. Т.е. для нахождения точки пересечения двух прямых нужно найти значения х и у, удовлетворяющие обоим уравнениям. Это тождественно отношению к двум данным уравнениям как содержащим два неизвестных. Решением этих двух уравнений с двумя неизвестными и находятся координаты точки пересечения. Если оба уравнения даны в явной форме (у = ...), то наилучшим путем решения является способ подстановки.

1. Найди точку пересечения двух прямых: у = х + 7 и у = 2х - 15.

Решение. Решим систему из двух уравнений способом подстановки:

у = х + 7 = 2х - 15 х + 7 = 2х - 15 15 + 7 = 2х - х х = 22.

Теперь подставим полученный х в одно из уравнений, скажем, в первое :

у = х + 7 = 22 + 7 = 29. И проверим по второму: 2х - 15 = 44 - 15 = 29. у = 29.

2. В параллелограмме ABCD сторона АВ лежит на прямой у = 9 - х, а сторона AD - на прямой у = 0.5х + 6. Диагонали параллелограмма пересекаются в точке (1, 5). Найди координаты вершин параллелограмма и уравнение стороны DC.

Решение. Диагонали параллелограмма делят друг друга пополам, поэтому точка М есть средняя точка отрезков АС и BD. (Рис. 3.9) Поскольку точка М есть середина отрезка BD, то выполняется: xM = (xB + xD)/2, yM = (yB + yD)/2.

Нам известны только xM и yM , а у нас есть здесь четыре неизвестных xB, yB, xD и yD. Но поскольку нам известны уравнения прямых, на которых находятся В и D, то мы располагаем зависимостью между значениями х и у. Поэтому у нас будет два уравнения с двумя неизвестными. В находится на прямой АВ, уравнение которой у = 9 - х, поэтому справедиво yB = 9 - xB. D лежит на стороне АD, уравнение которой у = 0.5х + 6, поэтому yD = 0.5xD + 6. Отсюда:

xM = 1 = (xB + xD)/2 xB + xD = 2;

yM = 5 = (yB + yD)/2 9 - xB + 0.5xD + 6 = 10 xD - 2xB = -10.

С помощью вычитания второго уравнения из первого получаем 3xB = 12 xB = 4, и поэтому xD = -2. Значения у найдем из уравнений прямых yB = 9 - xB = 5 и yD = 0.5xD + 6 = 5. Т.е. В = (4, 5), D = (-2, 5).

В точке А пересекаются прямые AD и АВ:

у = 9 - х, у = 0.5х + 6 9 - х = 0.5х + 6 xA = 2; yA = 9 - xA = 7. A = (2, 7).

М есть средняя точка отрезка АС, поэтому:

xM = (xA + xC)/2 1 = (2 + xC)/2 xC = 0;

yM = (yA + YC)/2 5 = (7 + yC)/2 yC = 3. C = (0, 3).

Сторона DC параллельна стороне АВ, поэтому их угловые коэффициенты равны. Отсюда mDC = mAB = -1.(Параллельные прямые образуют одинаковый угол с положительным направлением оси х, и поэтому у них одинаковый m).

Воспользуемся координатами точки D для нахождения уравнения стороны DC с использованием уравнения (8) для прямой, у которой известены угловой коэффициент и одна из точек:

y - yD = mDC(x - xD) у - 5 = -1(x + 2) у + х = 3 у = 3 - х.

Ответ. Координаты вершин: А(2, 7), В(4, 5), С(0, 3), D(-2, 5).

Уравнение стороны AD: у = 3 - х.

3.1.8. Общее уравнение прямой

Явное уравнение прямой (7) y = mx + n не годится для прямых, перпедикулярных оси х. У этих прямых уравнение имеет вид х = а, оно совсем не зависит от у. Уравнение, соответствующее любым прямым, будет общим уравнением первой степени:

Ах + Ву + С = 0

Поскольку эта форма уравнения подходит любым прямым, оно называется общим уравнением прямой. У наклонных прямых А 0 и В 0. У прямых, параллельных оси х, А = 0. У прямых, параллельных оси у, В = 0. У прямых, проходящих через начало координат, С = 0. Это уравнение создает некоторое ошибочное впечатление будто для характеристики прямой требуется три параметра - А, В, С. Но поскольку возможно умножить или разделить уравнение на произвольное число, не изменяя собственно прямую(из-за того, что правая часть уравнения есть 0), можно записать: (А/В)х + у + С/В = 0 или у = -(А/В)х - С/В. И действительно, нет разницы между общим уравнением (9) и явным уравнением (7). Прямая описывается двумя параметрами: m и n или А/В и С/В.Третий параметр общего уравнения устанавливается обычно так, чтобы три числа А, В и С были целыми.

1.Найди вершины треугольника, стороны которого даются следующими уравнениями х + 3у = 7, у = 4х - 2, 2х + у = 9.

Решение. Каждая из вершин треугольника есть точка пересечения двух его сторон. Точка пересечения двух прямых есть точка, отвечающая обоим уравнениям этих прямых, и поэтому она может быть получена решением системы из двух этих уравнений. И это решение каких-то двух уравнений из трех даст нам одну из вершин треугольника. Т.е.:

x + 3y = 7 / (-4)

+

4x - y = 2

x + 3y = 7 / (-2)

+

2x + y = 9

2x + y = 9

+

4x - y = 2

-13y = -26

-5y = -5

6x = 11

у = 2

у = 1

х = 11/6

х + 6 = 7

2х + 1 = 9

22/6 + у = 9

х = 1

х = 4

у = 16/3

Вершина (1, 2)

Вершина (4, 1)

Вершина (11/6, 16/3)

Ответ. Координаты вершин треугольника есть (11/6, 16/3), (4, 1), (1,2).

3.1.9. Условие ортогональности двух прямых(две перпендикулярные прямые)

(Рис. 3.10) Даны две прямые, уравнения которых y = m1x + n1 и y = m2x + n2 . Мы ищем необходимое условие ортогональности (перпендикулярности, g = 90) двух прямых. Это условие мы можем найти зная, что угловой коэффициент прямой m есть тангенс угла, образованного ею с положительным направлением оси х. Т.е.

m1 = tgα, m2 = tgβ. β есть внешний угол треугольника АВС, поэтому

β = α + g = α + 90. Если α - острый угол, то β будет тупым. Из тригонометрии мы знаем, что tgβ = -tg(180 - β) = -tg(180 - (α + 90)) = - tg(90 - α).

В тригонометрии мы учили, что tg(90 - α) называется также котангенсом угла α и что существует связь: ctgα = tg(90 - α) = 1/ tgα. Отсюда получаем: tgβ = -1/ tgα.

Выразим тангенсы углов через угловые коэффициенты в соотвествии с тем, что написано выше, и получим: m2 = -1/m1 m1m2 = -1.

Подобную формулу получим, если α есть тупой угол, поскольку в этом случае β будет острым углом. В итоге: произведение угловых коэффициентов двух ортогональных (перпендикулярных) прямых равно -1. Ортогональные прямые :

m1m2 = -1 m2 = -1/m1 (12)

Если уравнение прямой дано в явной форме y = mx + n, то уравнение прямой, перпендикулярной ей, имеет вид y = -1/mx + n1 , где n1 - произвольное число.

Если же прямая задана в общей форме Ах + Ву + С = 0, то уравнение ортогональной ей прямой будет Вх - Ау + С1 = 0. Т.е. поменяли местами(роли) А и В, а кроме того и знак у А. С1 может быть произвольным числом.

1.Найди уравнение прямой, проходящей через точку (2, -3) и ортогональной прямой 4х - 2у = 7.

Решение. Явное уравнение заданной прямой есть у = 2х - 3.5, т.е. m = 2. Значит у перпендикулярной ей прямой m = -1/2. Подставим это значение m и координаты заданной точки в уравнение (8) y - y1 = m(x - x1) : y + 3 = -0.5(x - 2) 2y + 6 = -x + 2.

Ответ. Уравнение искомой прямой 2у + х + 4 = 0.

2.Найди уравнения срединных перпендикуляров к сторонам треугольника, координаты вершин которого (-2, -1), (3, 5), (2, 1).

Решение. Срединный перрпендикуляр это прямая, перпендикулярная стороне и проходящая через ее среднюю точку. Т.е. он никак не зависит от третьей вершины треугольника. Займемся стороной с вершинами (-2, 1) и (3, 5).

a).Вычисление координат середины: ((3-2)/2, (5-1)/2) = (0.5, 2).

b).Вычислим угловой коэффициент стороны: m = (y2 - y1)/(x2 - x1) = (5+1)/(3+2) =6/5.

И отсюда, поскольку угловой коэффициент перпендикуляра равен -1/(6/5) = -5/6 и он проходит через точку (0.5, 2),

c).путем подстановки в уравнение (8) результатов пунктов a и b получим:

у - 2 = (-5/6)(х - 0.5) 10x + 12y - 29 = 0.

Уравнение первого срединного перпендикуляра 10x + 12y - 29 = 0.

Повторим описанные действия для двух других сторон.

Шаг a. Вершины стороны (2, 1), (3, 5) точка середины М = (2.5, 3).

Шаг b. mстороны = (5-1)/(3-2) =4 mперпендикуляра = -1/4.

Шаг c. И отсюда уравнение срединного перпендикуляра:

у - 3 = (-1/4)(х - 5/2) 8y -24 = -2x + 5.

Уравнение второго срединного перпендикуляра 2x + 8y - 29 = 0.

И обратимся к третьей стороне:

Шаг a. Вершины стороны (2, 1), (-2, -1), поэтому точка середины М = (0, 0).

Шаг b. Когда прямая проходит через начало координат (0, 0), явное уравнение y = mx + n обращается в уравнение y = mx, т.к. n = 0.

mстороны = (1+1)/(2+2) =1/2 mперпендикуляра = -2.

И уравнение третьего срединного перпендикуляра y = -2x.

3. Найди уравнения высот треугольника из задачи 2.

Решение. Высота есть прямая, перпендикулярная к одной из сторон и проходящая через вершину, которая не лежит на этой стороне. В этом случае находят m из углового коэффициента основания (на самом деле m высоты равен угловому коэффициенту срединного перпендикуляра), а в качестве точки на прямой берут третью вершину. Не будем во второй раз вычислять угловые коэффициенты, а воспользуемся результатакми, полученными во второй задаче.

Основание (-2, 1) и (3, 5). mстороны = 6/5. mперпендикуляра = -5/6. Точка (2, 1). Уравнение высоты получается подстановкой этих данных в уравнение (8): y - y1 = m(x - x1).

у - 1 = (-5/6)(х - 2) 5x + 6y - 16 = 0.

Уравнение первой высоты 5x + 6y - 16 = 0.

Основание (2, 1) и (3, 5). mстороны = 4. mперпендикуляра = -1/4. Точка (-2, -1).

у + 1 = 1/4(х + 2) x + 4y + 6 = 0.

Уравнение второй высоты x + 4y + 6 = 0.

Основание (-2, -1) и (2, 1). mстороны = 1/2. mперпендикуляра = -2. Точка (3, 5).

у - 5 = -2(х - 2) 2x + y - 11 = 0.

Уравнение третьей высоты 2x + y - 11 = 0.

4.(Рис. 3.11) Дан прямоугольный треугольник АВС, в котором С есть вершина прямого угла. Дано, что С(2, 4), В(8, 7) и А лежит на оси х. Найди:

a).Уравнение прямой ВС. b).Уравнение прямой АС. c).Координаты точки А. d).Площадь треугольника АВС.

Решение. a).Нам даны две точки В и С. Вычислим уравнение прямой, проходящей через них. Ее угловой коэффициент m = (yB - yC)/(xB - xC) = (7-4)/(8-2) = 0.5. Найдем уравнение прямой ВС с помощью уравнения (8) для данных углового коэффициента и точки на ней:

y - yC = m(x - xC) y - 4 = 0.5(x - 2) y = 0.5x +3 2у = х + 6 или х - 2у + 6 = 0.

b).Прямая АС ортогональна прямой ВС (С есть вершина прямого угла). Поэтому

mАС = -1/ mВС = -1/0.5 = -2. Прямая проходит через точку С и потому, согласно уравнению (8), уравнение прямой АС :

y - yC = mAC(x - xC) y - 4 = -2(x - 2) y -4 = -2x + 4

Ответ. у = -2х + 8 или 2х + у - 8 = 0.

c).Точка А находится на оси х и поэтому уА = 0. Подставим эту координату у в уравнение прямой АС и получим координату х нашей точки.

A + 0 - 8 = 0 хA = 4. Т.е. координаты точки А есть (4, 0).

d).Площадь треугольника можно вычислить как половину произведения длин катетов. Длина катета АС равна ((xA - xC)2 + (yA - yC)2) = (4 + 16) = 20.

Длина катета ВС равна ((xB - xC)2 + (yB - yC)2) = (36 + 9) = 45.

Площадь треугольника S = 0.5ACBC = 15.

5.(Рис. 3.12) Дан прямоугольный треугольник АВС, в котором С есть вершина прямого угла. Дано, что А(2, 4), В(10, 3) и С лежит на оси х. Найди кординаты точки С.

Решение.Эту задачу можно решать двумя способами: a).с помощью теоремы Пифагора; b).с учетом того, что произведение угловых коэффициентов катетов равно -1.

Точка С находится на оси х и поэтому ее координаты (xC, 0).

Первый способ. АС2 + ВС2 = АВ2 .

(xA - xC)2 + (yA - yC)2 + (xB - xC)2 + (yB - yC)2 = (xB - xA)2 + (yB - yA)2.

(2 - xC)2 + 42 + (10 - xC)2 + 32 = 82 + 12 xC2 - 12xC + 32 = 0 xC1 = 4, xC2 = 8.

Второй способ. mАС = (yA - yC)/(xA - xC) = 4/(2 - xC), mВС = (yB - yC)/(xB - xC) = 3/(10 - xC).

mАСmВС = (4/(2 - xC))(3/(10 - xC)) = -1 xC2 - 12xC + 32 = 0 xC1 = 4, xC2 = 8.

Т.е. существуют две возможных точки (4, 0) и (8, 0). В геометрии на плоскости мы

учили, что любая точка, из которой заданный отрезок виден под прямым углом, находится на окружности, в которой наш отрезок служит диаметром. Поэтому в этих двух точках, которые мы нашли, окружность, построенная на АВ, как на диаметре, пересекает ось х.

6.(Рис. 3.13) Прямая, уравнение которой у = 3х + 6, пересекает ось у в точке А. Прямая, уравнение которой у = 3х - 4, пересекает ось у в точке С. Из точки А опускают перпендикуляр на прямую у = 3х - 4, пересекающий ее в точке В. Из точки С опускают перпендикуляр на прямую у = 3х + 6, пересекающий ее в точке D. a).Докажи, что четырехугольник ABCD есть прямоугольник. b).Найди координаты точек A, B, C, D. c).Вычисли площадь четырехугольника ABCD.

Решение. a).Прямые у = 3х + 6 и у = 3х - 4 являются параллельными, поскольку у них угловые коэффициенты равны (m = 3). АВ перпендикулярен прямой у = 3х - 4 и также прямой у = 3х + 6, поскольку они параллельны. То же самое можно сказать относительно CD. Поэтому построенный четырехугольник есть прямоугольник (противоположные стороны - параллельны, углы - прямые).

b).Вычислим координаты четырех точек.

A - находится на прямой у = 3х + 6 и на оси у. Поскольку она находится на оси у, то хА = 0. Подставим это значение в уравнение прямой AD и получим:

yA = 3xA + 6 = 0 + 6 = 6 A = (0, 6).

B - определим сперва уравнение прямой AB. Прямая АВ ортогональна прямой ВС и поэтому ее угловой коэффициент mАВ = -1/mВС = -1/3. Прямая проходит через точку А и поэтому можно воспользоваться уравнением прямой, угловой коэффициент которой и точка на ней даны:

y - yA = mAB(x - xA) y - 6 = (-1/3)(x - 0) x - 3y = 18.

В есть точка пересечения прямых АВ и ВС, поэтому мы можем найти ее посредством решения системы из двух уравнений(двух прямых):

3x - y = 4 9x - 3y = 12; x +3y = 18 10x = 30 xB = 3.

Координату уВ найдем подстановкой значения xB в уравнение ВС:

yв = 3xВ - 4 = 33 - 4 = 5 B = (3, 5).

C - точка находится на оси у, поэтому xC = 0. Найдем координату у из уравнения прямой ВС : yC = 3xC - 4 = 0 - 4 = -4 C = (0, -4).

D - найдем уравнение прямой СD. Ее угловой коэффициент равен -1/3, т.к. она ортогональна прямой у = 3х + 6 (прямая AD). Поскольку прямая проходит через точку С - ее уравнение: y - yC = mCD(x - xC) y + 4 = (-1/3)(x - 0) x + 3y + 12 = 0.

Координаты точки D получим решением системы из уравнений двух прямых CD и AD. 3x - y + 6 9х - 3у + 18 = 0; х + 3у + 12 = 0 10х + 30 = 0 xD = -3.

Подставим это значение в уравнение AD и получим yD = 3xD + 6 = -3 D = (-3, -3).

c).Поскольку четырехугольник является прямоугольником, его площадь дается произведением длин двух его ортогональных сторон.

АВ = (32 + 12) = 10. ВС = (32 + 92) = 90. S = ABBC = 30.

 

3.2. Окружность

3.2.1. Общее уравнение окружности

Характерное свойство точек на окружности состоит в том, что все они находятся на заданном одинаковом расстоянии от центра окружности. Это постоянное расстояние именуется радиусом окружности. (Рис. 3.14) Математически сформулируем сказанное следующим образом: окружность есть геометрическое место точек, расстояние которых от центра окружности равно радиусу окружности. Пусть координаты центра окружности (a, b), а его радиус - r, тогда условием нахождения произвольной точки (х, у) на окружности будет: ((x - a)2 + (y - b)2) = r .

С помощью возведения в квадрат получаем уравнение окружности:

(x - a)2 + (y - b)2) = r2 (13)

Возведение во вторую степень допустимо (без того, чтобы получить неверные результаты), поскольку обе части уравнения - положительные. Раскрытие скобок в уравнении (13) дает: x2 - 2ax + a2 + y2 - 2by + b2 - r2 = 0. Иной порядок элементов в этом уравнении даст нам общее уравнение окружности:

 

x2 + y2 - 2ax - 2by + a2 + b2 - r2 = 0 (14)

В этом уравнении нет элемента, содержащего произведения х на у (ху), поэтому в общей форме уравнение окружности имеет вид:

Ax2 + Ay2 + Dx + Ey + F = 0 (15)

Обратим внимание на то, что в уравнении (14) коэффициенты при х2 и у2 равны 1, в то время как в уравнении (15) мы написали А. Мы всегда можем получить этот коэффициент, равным 1, путем деления уравнения (15) на А. Но для того, чтобы все коэффициенты были целыми, умножают уравнение (14) на А. Разделим уравнение (15) на А и получим:

x2 + y2 + (D/A)x + (E/A)y + F/A = 0 (16)

Из сравнения уравнений (14) и (16) можно найти координаты центра окружности, если известно ее уравнение. Из сравнения коэффициентов при х получаем -2а = D/A, а из сравнения коэффициентов при у получаем -2b = E/A. И поэтому координаты центра окружности даются формулами:

a = -D/(2A), b = -E/(2A) (17a)

Сравнение свободных членов уравнений (14) и (16) дает:

a2 + b2 - r2 = F/A r2 = a2 + b2 - F/A.

Подставим a и b в уравнение (17а) и получим:

r2 = D2/(4A2) + E2/(4A2) - F/A = (D2 + E2 - 4AF) /(4A2).

Т.е. радиус окружности дается формулой:

r = (1/(2А))(D2 + E2 - 4AF) (17b)

И в качестве резюме: если известно общее уравнение окружности - уравнение (15), то параметры окружности(координаты центра и величину радиуса) можно найти из формул:

a = -D/(2A), b = -E/(2A), r = (1/(2А))(D2 + E2 - 4AF) (17)

1. Дано уравнение окружности x2 + y2 - 4x - 6y - 12 = 0. Найди координаты центра и радиус окружности.

Решение. Требуемое можно найти путем подстановки в уравнение (17):

a = 4/2 = 2, b = 6/2 = 3, r = 0.5(42 + 62 + 48) = 5.

Недостатком этого способа является то, что формула (17) не дается на страничке формул экзамена на аттестат зрелости. Для того, чтобы в запоминании этой формулы не было необходимости, будем решать такую задачу всякий раз с помощью вывода формул. Уравнение окружности с центром (a, b) и радиусом r имеет вид (x - a)2 + (y - b)2 = r2 x2 + y2 - 2ax - 2by + a2 + b2 - r2 = 0 (14)

Из сравнения последнего и данного уравнений окружности(коэффициенты при x2 и y2 равны в обоих уравнениях) получим: -2а = -4 а = 2; -2b = -6 b = 3.

a2 + b2 - r2 = -12 r2 = a2 + b2 + 12 = 25 r = 5.

В последней строчке мы подставили значения a и b, полученные в предыдущей строке.

Ответ. Центр окружности находится в точке (2, 3), а длина радиуса равна 5.

2. Дана окружность, уравнение которой 2x2 + 2y2 - 5x + 6y - 10 = 0. Найди координаты центра и радиус окружности.

Решение. Нам нужно, чтобы коэффициенты при х2 и у2 были равны 1, поскольку такими являются эти коэффициенты в стандартном уравнении окружности. Поэтому разделим заданное уравнеие на 2: x2 + y2 - 2.5x + 3y - 5 = 0.

Выведем вновь уравнение (14) как в предыдущей задаче. Сравнение коэффициентов дает: -2а = -2.5 а = 1.25; -2b = 3 b = -1.5.

a2 + b2 - r2 = -5 r2 = a2 + b2 + 5 = 8.8125 r = 2.97.

Ответ. Координаты центра окружности (1.25, -1.5), а длина радиуса 2.97.

Точки внутри и вне окружности. У точки (х, у), находящейся внутри окружности, ее расстояние до центра меньше радиуса, поэтому действительно соотношение (x - a)2 + (y - b)2 r2 . У точки (х, у), находящейся вне окружности, ее расстояние до центра больше радиуса, поэтому действительно соотношение (x - a)2 + (y - b)2 r2 .

3.2.2. Нахождение уравнения окружности

В предыдущем параграфе мы занимались поисками параметров окружности -

координат центра и величины радиуса - по известному ее уравнению. В этом параграфе мы обсудим случаи, в которых уравнение окружности не известно, а мы хотим его найти. Чтобы найти уравнение окружности, у нас должно быть три данных о ней. Эти три данных, как правило, будут одним из четырех возможных наборов: a).координаты центра окружности и величина ее радиуса; b).координаты центра окружности и координаты одной точки на ней; c).координаты двух точек на окружности и величина радиуса; d).координаты трех точек на окружности.

Обратим внимание на то, что координаты центра окружности засчитываются за два данных, а точка на окружности - за одно. Набор данных d равносилен, в действительности, задаче найти уравнение описанной окружности вокруг заданного треугольника. Ясно, что существуют также другие случаи, например, могут быть даны одна из координат центра, величина радиуса и одна точка на окружности, но подобные случаи не распространены. Теперь продемонстрируем нахождение уравнения окружности для всех четырех отмеченных вариантов данных.

1. Найди уравнение окружности с центром в точке (2, 3) и радиусом, равным 5.

Решение. Подстановкой данных в уравнение (13) получим: (x - 2)2 + (y - 3)2 = 52 .

Это уравнение можно оставить в этом виде или преобразовать его к виду без скобок. Выражение без скобок можно получить раскрытием скобок в последнем уравнении или прямой подстановкой в уравнение (14): x2 + y2 - 4x - 6y + 12 = 0.

Ответ. Уравнение окружности есть (x - 2)2 + (y - 3)2 = 25 или x2 + y2 - 4x - 6y + 12 = 0.

2. Найди уравнение окружности, если известно, что ее центр находится в точке (3, 5) и она проходит через точку (2, 3).

Решение. Поскольку точка (2, 3) находится на окружности, ее растояние до центра равно радиусу окружности. А значит по расстоянию между двумя точками можно определить радиус окружности: r2 = (2 - 3)2 - (3 - 5)2 = 5. Теперь можно найти уравнение окружности в соответствии с решением в примере 1: (х - 3)2 + (y -5)2 = 5.

Ответ. Уравнение окружности есть (х - 3)2 + (y -5)2 = 5.

3. Окружность проходит через точки (1, -3) и (2, 4), а ее радиус равен 5. Найди уравнение этой окружности.

Решение. Две данные точки должны удовлетворять уравнению (13), т.е.:

(2 - a)2 + (4 - b)2 = 5

(1 - a)2 + (-3 - b)2 = 5

Получили систему уравнений с двумя неизвестными а и b. Решая уравнения, найдем а и b. 4 - 4a + a2 + 16 - 8b + b2 = 25 (I)

1 - 2a + a2 + 9 + 6b + b2 = 25 (II)

Приведем подобные(соберем элементы) и получим: a2 + b2 - 4a - 8b - 5 = 0 (I)

a2 + b2 - 2a + 6b - 15 = 0 (II)

Вычтем из первого уравнения второе и получим: -2а - 14b + 10 = 0 a = 5 - 7b.

Подставим эту зависимость в одно из предыдущих уравнений(пусть в первое) и получим: (5 - 7b)2 + b2 - 4(5 - 7b) - 8b - 5 = 0 50b2 - 50b = 0 50b(b - 1) = 0.

У нас есть два решения : b = 0 и b = 1. Соответствующие решения для а найдем на основе полученной выше связи: a = 5 - 7b. b = 0 a = 5, b = 1 a = -2.

Ответ. Существуют две окружности, отвечающие необходимым условиям: одна с центром в (5, 0), вторая - в (-2, 1). Их уравнения (x-5)2 + y2 = 25 и (x+2)2 + (y-1)2 =25.

4. Дана окружность, проходящая через точки (0, 0), (10, 24), (18, 12). Найди ее уравнение.

Решение. Первый способ. Все три точки должны удовлетворять уравнению (13). В результате подстановки получим три уравнения с тремя неизвестными:

a2 + b2 = r2 (I)

(10 - a)2 + (24 - b)2 = r2 (II)

(18 - a)2 + (12 - b)2 = r2 (III)

Решением этих уравнений мы получим a, b и r. Раскроем скобки в двух последних уравнениях и сгруппируем элементы: a2 + b2 - r2 = 20a + 48b - 676 (II)

a2 + b2 - r2 = 36a + 24b - 468 (III)

Согласно уравнению (1) левые части двух последних уравнений равны нулю, поэтому получаем: 20a + 48b - 676 = 0 / :(-4) (II) 36a + 24b - 468 = 0 / : 2 (III)

-5a - 12b + 169 = 0 18a + 12b - 243 = 0

 

Сложение двух последних уравнений дает:

13а - 65 = 0 а = 5, b = 12 r2 = a2 + b2 = 169.

Уравнение окружности (x - 5)2 + (y - 12)2 = 169.

Второй способ. Этот способ более простой с точки зрения вычислений, состоит он в подстановке координат трех точек в общее уравнение окружности и не связан с определением координат центра и радиуса. Мы видели, что общее уравнение окружности можно записать в следующей форме:

x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0.

Подставим координаты трех точек в это уравнение и получим три уравнения с неизвестными D, E и F.

F = 0 (I)

10D + 24E + F + 676 = 0 (II)

18D + 12E + F + 468 = 0 (III)

После подстановки (I) в (II) и (III) и преобразований получим:

5D + 12E = -338 (II)

18D + 12E = -468 (III)

С помощью вычитания уравнений получим 13D = - 130 D = -10.

Подставим D в уравнение II и получим -50 + 12Е = -338 Е = -24.

Уравнение окружности есть x2 + y2 - 10x - 24y = 0.

В случае, когда окружность не проходит через начало координат(F 0), мы получим три уравнения с тремя неизвестными. Во всех трех уравнениях присутствует элемент +F, поэтому с помощью вычитания двух уравнений из третьего мы получим систему из двух уравнений с неизвестными E и D.

Третий способ. С помощью вычисления точки пересечения двух срединных перпендикуляров к сторонам треугольника можно найти центр окружности, описывающей треугольник, вершинами которого являются три наши точки. После нахождения центра окружности расстояние от него до любой из вершин даст нам ее радиус. Этот метод сложнее остальных(наиболее простым является второй способ), но все-таки продемонстрируем и его.Обратимся к стороне с концами (0, 0), (10, 24). Ее середина в точке (5, 12), угловой коэффициент mстороны = (24 - 0)/(10 - 0) = 12/5. Угловой коэффициент перпендикуляра будет mперпендикуляра = -5/12. Срединный перпендикуляр проходит через среднюю точку стороны, т.е. точку (5, 12). Отсюда уравнение срединного перпендикуляра (согласно уравнения 8 - уравнения прямой с известными угловым коэффициентом и точкой на ней) будет

у - 12 = (-5/12)(х - 5) 5х + 12у = 169.

Перейдем к стороне с концами (10, 24) и (18, 12). Середина стороны (14, 18), угловой коэффициент mстороны = (24 - 12)/(10 - 18) = -3/2. Угловой коэффициент перпендикуляра будет mперпендикуляра = 2/3. Уравнение срединного перпендикуляра:

у - 18 = (2/3)(х - 14) -2х + 3у = 26.

Центр окружности находится решением системы из двух уравнений срединных перпендикуляров, т.е. нахождением их точки пересечения.

5х + 12у = 169 5х + 12у = 169

-2х + 3у = 26/4 -8х + 12у = 104 13х = 65 х = 5.

Подставим координату х в одно из уравнений срединного перпендикуляра и получим у = 12. Т.е. центр окружности есть точка (5, 12). Теперь найдем расстояние от центра окружности до одной из вершин, например, (0, 0).

r2 = (5 - 0)2 + (12 - 0)2 = 169. Т.е. радиус окружности равен 169 = 13. Отсюда уравнение окружности (x - 5)2 + (y - 12)2 = 132.

Дополнительные примеры.

1.Найди уравнение окружности, описывающей треугольник, стороны которого лежат на прямых у = 7х - 51, х - 3у + 7 = 0, х + 2у = 3.

Решение. Решить задачу можно нахождением точки пересечения срединных перпендикуляров (после отыскания координат вершин треугольника), или нахождением вершин и подстановкой их координат в уравнение окружности

x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0. Выбираем решение вторым способом. Вычислим сперва координаты вершин посредством определения точек пересечения каждой пары прямых(решим системы каждой пары уравенений из трех данных):

х + 2у = 3, х - 3у + 7 = 0 у = 2, х = -1 (-1, 2)

х + 2у = 3, у = 7х -51 х = 7, у = -2 (7, -2)

х - 3у + 7 = 0, у = 7х -51 х = 8, у = 5 (8, 5)

Подставим координаты вершин в уравнение окружности:

5 - D + 2E + F = 0 (I) 53 + 7D - 2E + F = 0 (II) 91 + 8D + 5E + F = 0 (III)

(II - I) E - 2D = 12, (III - II) 14E + 2D = -72 E = -4, D = -8.

Подставим значения D и Е в уравнение (I) и получим F = -5.

Уравнение окружности x2 + y2 - 8x - 4y - 5 = 0.

Координаты центра окружности (a, b) = (8/2, 4/2) = (4, 2). Радиус окружности найдем с помощью подстановки : r2 = a2 + b2 - F/A = 25 r = 5.

2. Рассмотрим иной путь решения задачи 5 из раздела 3.1.9. Треугольник АВС - прямоугольный, в котором С есть вершина прямого угла. Дано, что А(2, 4), В(10, 3) и С лежит на оси х. Необходимо найти координаты точки С. В геометрии на плоскости мы учили, что любая точка, из которой данный отрезок прямой виден под прямым углом, находится на окружности, диаметром которой является этот отрезок. Т.е. точка С есть точка пересечения окружности , построенной на АВ как на диаметре, и оси х. Центр окружности есть середина отрезка АВ : (6, 3.5). Радиус ее равен половине длины отрезка АВ: 0.5(82 + 12) = 16.25 .Отсюда уравнение окружности есть (х - 6)2 + (у - 3.5)2 = 16.25. Поскольку С находится на оси х, то уС = 0. Подставим координату уС в уравнение этой окружности:

С - 6)2 + 3.52 = 16.25 С - 6)2 = 4 хС - 6 = 2 хС = 6 2. Т.е. есть два решения для точки С (4, 0) и (8, 0).

3.2.3. Каноническая окружность или каноническое уравнение окружности

До сих пор мы занимались окружностью в заданной системе координат. Возможно получить более простое уравнение, если переместить систему координат. Наиболее простую формулу, которую можно получить, именуют каноническим уравнением окружности или уравнением канонической окружности. Для получения этой наипростейшей формулы перенесем начало координат системы в центр окружности. В такой системе координат (0, 0) есть координаты центра окружности, поэтому ее каноническое уравнение :

x2 + y2 = r2 (18)

Точка внутри окружности отвечает условию x2 + y2 < r2, а точка вне ее - x2 + y2 > r2.

1. Каково уравнение окружности с центров (0, 0) и радиусом 7?

Решение. Поскольку центр окружности находится в начале координат, то она - каноническая и ее уравнение будет x2 + y2 = 72. Ясно, что мы получим это и из подстановки в обычное уравнение (x - 0)2 + (y - 0)2 = 72.

Ответ. Уравнение окружности есть x2 + y2 = 49.

2. Найди радиус окружности с уравнением x2 + y2 - 81 = 0.

Решение. Поскольку в уравнении нет элементов с х и у в первой степени, то центр этой окружности находится в точке (0, 0). Т.е. а = b = 0, поэтому свободный член есть r2 . r2 = 81 r = 9.

Ответ. Длина радиуса окружности равна 9.

3. Каково уравнение канонической окружности, проходящей через точку (5, 12)?

Решение. Подставим заданную точку в уравнение (18) и получим

25 + 144 = r2 r2 = 169 r = 13. Если так, то уравнение окружности x2 + y2 =169.

Ответ. Уравнение окружности есть x2 + y2 = 169.

4. Найди координаты концов хорды окружности x2 + y2 = 25 на прямой у = х - 1.

Решение. Чтобы найти точки пересечения прямой и окружности, решим систему из двух их уравнений. Подставим у из уравнения прямой в уравнение окружности: x2 + (x - 1)2 = 25 x2 - x - 12 = 0 x1 = -3, y1 = -4 ; x2 = 4, y2 = 3/

Ответ. Координаты концов хорды (4, 3) и (-3, -4).

Глава 3. Аналитическая геометрия (упражнения повторения и ответы)

1.Найди расстояния между следующими парами точек:

a).(3, 8), (9, 0); b).(5, 6), (3, -1); c). (-10, 9), (-2, -6). [ a).10; b).53; c).17 ]

2.Найди уравнение прямой, проходящей через следующие точки: a).(2, 7), (1, 5); b).(2, -3), (4, -6); c). (3, 7), (-4, 2). [ a).y = 2x + 3; b).y = -1.5x; c).7y = 5x + 34 ]

3.Найди уравнение прямой, проходящей через точку А и параллельной прямой y = mx + n: a).(1, 5), y = 3x + 7; b).(-2, -3), y = -4x + 5; c). (-4, 2), y = 2x - 4.

[ a).y = 3x + 2; b).y = -4x - 11; c).y = 2x + 10 ]

4.Даны вершины треугольника А(6, -2), В(-3, 4), С(1, 4). Найди : a).середину стороны АВ; b).уравнение медианы на АВ. [a).(1.5, 1); b).y = -6x + 10 ]

5.Найди уравнения трех медиан в треугольнике с вершинами в точках (7, -2), (9, 8), (3, 12). [9x + 5y = 87; 12x + y = 82; 3x - 4y = -5 ]

6.Докажи, что прямая, проходящая через точки (0, -7), (2, -3), параллельна прямой у - 2х = 1.

7. Докажи, что : a).точки А(0, 7), В(3, -1), С(6, -9) находятся на одной прямой.

b).точка В есть середина отрезка АС.

8.Докажи, что треугольник, вершины которого находятся в точках (2, 2), (3, 1), (7, 6), является равнобедренным.

9.Точки А(-1, 0), В(2, 1), С(5, 4), D(2, 3) есть вершины параллелограмма. Найди точку пересечения его диагоналей. [(2, 2)]

10.Докажи, что четырехугольник с вершинами А(2, 1), В(7, 6), С(3, 9), D(1, 7) есть трапеция.

11.Найди уравнение прямой, проходящей через точку А и перпендикулярной прямой y = mx + n: a).(2, -3), y = -0.5x + 6; b).(-4, 3), y = -3x + 2; c).(6, -4), y = -0.5x - 5.

[ a).y = 2x - 7; b).x - 3y + 13 = 0; c).y = 2x - 16 ]

12.Найди уравнение срединного перпендикуляра к отрезку с концами А и В:

a).(2, 3), (-4, 5); b).(6, -4), (2, -8); c).(7, 9), (-3, 5). [ a).y = 3x = 7; b).y = -x - 2;

c).y = -2.5x + 12 ]

13.Найди уравнение прямой, ортогональной прямой АВ и проходящей через С, если А(2, 3), В(3, 5), С(4, 4). [x + 2y - 12 = 0]

14.АВС - прямоугольный треугольник, угол В - прямой. А(-1, 2), В(1, 4), С находится на оси х. a).Найди уравнение прямой АВ. b).Найди уравнение прямой ВС. c).Найди координаты точки С. d).Вычисли площадь треугольника АВС.

[a).y = x + 3; b).y = -x + 5; c).C(5, 0); d).8]

15.В системе координат даны точки В(0, 8), С(4, 0). Точка D есть середина отрезка ВС. a).Найди уравнение прямой, проходящей через точку D и перпендикулярной ВС. b).Прямая, которую ты нашел в вопросе a, пересекает ось х в точке А. Вычисли длину отрезка АВ.[a). x - 2y + 6 = 0; b).10]

16.Найди уравнения трех высот треугольника, вершины которого (0, 0), (4, 5), (6, -1).

[x - 3y = 0, 6x - y = 19, 4x + 5y = 19]

17.Парабола у = х2 - 6х + 9 касается оси х в точке А и пересекает ось у в точке В. Найди координаты А и В и расстояние между ними.[A(3, 0), B(0, 9), AB = 90]

18.Докажи, что треугольник с вершинами в точках (-2, -4), (5, 2), (6, 0) - прямоугольный.

19.Вершинами треугольника являются точки А(2, 7), В(-1, 3), С(6, 4). a).Покажи, что треугольник - прямоугольный и равнобедренный(А - прямой угол). b).Найди такую точку D, чтобы четырехугольник АВСD был квадратом. [b).D(3, 0)]

20.Две противоположные вершины ромба находятся в точках (3, 3) и (-1, 7). Найди уравнения двух его диагоналей.[x - y = 6, y = x + 4]

21.Докажи, что точки А(-1, 3), В(5, 9), С(8, 6), D(2, 0) есть вершины прямоугольника.

22.Дан треугольник с вершинами в А(0, 0), В(0, 8), С(5, 3). Найди точку пересечения высоты, опущенной из А, с высотой, опущенной из В. [(3, 3)]

23.Прямая у = 2х + 5 пересекает ось у в точке А. Прямая у = 2х - 5 пересекает ось у в точке С. Из точки А опускают перпендикуляр на прямую у = 2х - 5, который пересекает ее в точке В. Из точки С опускают перпендикуляр на прямую у = 2х + 5, который пересекает ее в точке D. Вычисли площадь четырехугольника АВСD. [40]

24.Найди центры и радиусы окружностей согласно следующим уравнениям:

a).x2 + y2 - 121 = 0; b).(x - 3)2 + (y + 2)2 = 25; c).(x - 7)2 + y2 = 16; d).x2 - 6x + y2 + 9 = 81; e).x2 + y2 +2y + 1 = 36; f).4x2 + 4y2 - 8x - 8y = 16; g).2x2 + 2y2 - 14x + 10y + 5 = 0.

[a).R = 11, M(0, 0); b).R = 5, M(3, -2); c).R = 4, M(7, 0); d).R = 9, M(3, 0); e).R = 6, M(0, -1); f).R = 6, M(1, 1); g).R = 4, M(3.5, -2.5)]

25.Найди уравнение окружности с центром в точке (-3, 1), проходящей через точку (0, 5). [b).(x + 3)2 + (y - 1)2 = 25]

26.Дана окружность (x + 3)2 + y2 = 25. a).Где ее центр и каков ее радиус? b).Найди, какие из следующих трех точек А(1, 4), В(0, -2), С(-7, -3) находятся внутри, вне и на окружности. Аргументируй. [a).M(-3, 0), R = 5; b).A - вне окружности, В - внутри, С - на окружности]

27.Найди уравнение окружности, диаметр которого есть отрезок прямой с концами в точках А(-2, 2), В(4, 6). [(x - 1)2 + (y - 4)2 = 13]

28.Найди уравнение окружности с центром в точке (-3, -4), которая касается оси у. Где она пересекает ось х? [(x + 3)2 + (y + 4)2 = 9, не пересекает]

29.Найди уравнение окружности с центром в точке (4, 4), которая касаяется осей х и у. [(x - 4)2 + (y - 4)2 = 16]

30.Найди: a).точки пересечения окружности (x - 1)2 + (y - 3)2 = 10 с осями координат; b).уравнение прямой, проходящей через центр этой окружности и перпендикулярной отрезку, соединяющему центр окружности с началом координат. [a).(0, 6), (0, 0), (2, 0); b).x + 3y - 10 = 0]

31.Дана окружность (x + 4)2 + (y - 3)2 = 36. a).Проходит ли эта окружность через начало координат? b).Найди уравнение прямой, проходящей через начало координат и центр окружности. [a).Нет; b).3x + 4y = 0]

32.Дано уравнение окружности x2 + y2 = 25 и даны три точки А(3, 2), В(3, 4), С(3, 5). Найди относительное положение всех точек относительно окружности (внутри, на или вне ее). Аргументируй. [A - внутри окружности, В - на окружности, С - вне ее]

33.a).Докажи, что уравнение окружности с центром в точке М(2, -3) и проходящей через начало координат, есть x2 - 4x + y2 + 6y = 0. b).Эта окружность пересекает ось х еще в одной точке А и ось у - в точке В. Найди координаты А и В. c).Докажи, что три точки А, М, В находятся на одной прямой. [b).A(4, 0), B(0, -6)]

34.Дана окружность (x - 5)2 + (y + 3)2 = 36. a).Запиши координаты центра окружности. b).Определи уравнение ее диаметра с угловым коэффициентом 0.8.

[a).(5, -3); b).4x - 5y - 35 = 0]

35.Дан треугольник АВС с вершинами А(0, 0), В(2, 4), С(-6, 8). Найди уравнение окружности описывающей этот треугольник. [(x + 3)2 + (y - 4)2 = 25]

36.Дана окружность x2 + y2 + 2x - 10y + 1 = 0. Дана также на этой окружности точка А(-5, 2). Найди уравнение прямой, проходящей через центр окружности и точку А.

[a)3x - 4y + 23 = 0]

Глава 3. Дополнительные упражнения

37.Вычисли расстояния между следующими точками: a).(3, 1), (2, 5); b).(7, 4), (3, -1); c). (7, -4), (-3, 2); d).(7, -3), (-5, -6); e).(-2, -4), (-3, -6); f). (-2, -4), (6, 3).

[ a).17; b).41; c).136; d).153; e).17; f).113]

38.Дано, что в равнобедренном треугольнике вершины основания находятся в точках (1, 7) и (3, 2), а координата х третьей вершины равна 2.5. Найди координату у этой вершины.[4.7]

39.В равностороннем треугольнике две вершины находятся в точках (5, 2) и (7, 4). Найди координаты третьей вершины.[(1.268, 7.732) или (4.268, 4.732)]

40.Докажи, что треугольник с вершинами в точках А(3, 2), В(1, -1), С(1, 5) является равнобедренным.

41.Точки (2, 4) и (7, 3) есть вершины квадрата. Какова площадь квадрата, если эти точки являются в нем вершинами: a).прилежащими; b).противоположными? [a).26; b).13]

42.Вычисли длины сторон и высоты треугольника, если известно, что его вершины даны в вопросе а задачи 6(???).

[Длины сторон: 5, 5.099, 4.123; длины высот: 3.8, 3.726, 4.123]

43.Найди средние точки отрезков, концы которых:

a).(5, 2), (3, 1); b).(2, 5), (3, -1); c). (-4, -2), (5, 7). [ a).(4, 1.5); b).(2.5, 2); c).(0.5, 2.5)]

44.Точки (-4, 2), (4, 6), (8, -2) являются средними для сторон треугольника АВС. Найди координаты его вершин. [(-8, 10), (16, 2), (0, -6)]

45.Точки (6, 2), (18, 18), (10, 12) являются тремя последовательными вершинами параллелограмма. Найди координаты его четвертой вершины. [(14, 8)]

46.Вычисли длину медиан треугольника, вершины которого А(3, 2), В(5, 2), С(-1, 4). [5.099, 4.123, 6.403]

47.Дана прямая 3х + 2у - 6 = 0. a,b,c).Находятся ли точки (2, 4), (1, 1.5), (2, 3) на этой прямой? d).Какова координата у точки А, находящеейся на прямой, если ее х равна 4? e,f).Найди точку пересечения прямой с осями х и у. g).Какой угол образует прямая с осью х? [a).Нет; b).да; c).нет; d).y=-3; e).x = 2; f).y = 3; g).123.69]

48.Те же вопросы, что и в задаче 47, но для прямой 4х - 3у + 4 = 0.

[ a).Да; b).нет; c).нет; d).y = 6.667; e).x = -1; f).y = 1.333; g).53.12]

49.Найди уравнение прямой по двум точкам ее пересечения с осями координат. a).(0, 3), (5, 0); b).(0, 7), (4, 0); c).(0, 3), (2, 0); d).(0, 2), (-5, 0); e).(0, -2), (-5, 0).

[ a).3x + 5y = 15; b).4y + 7x = 28; c).2y - 3x = 6; d).5y - 2x = 10; e).2x + 5y + 10 = 0]

50.Найди точки пересечения следующих прямых: a).y = 3x + 7, y = -5x + 8;

b).y = 4x + 6, y = 3x - 9; c).2x + 3y - 7 = 0, 3x + 4y - 18 = 0; d). y = 4x + 6, 3x + 5y - 7 = 0.

[a).(0.125, 7.375); b).(-15, -54); c).(26, -15); d).(-1, 2)]

51.Найди уравнение прямой, проходящей через две следующие точки:

a).(3, 5), (4, 7); b).(5, -6), (3, 7); c).(3, -7), (-5, 6); d).(-2, 3), (-4, -6); e).(-1, -2), (-3, -5).

[a).y = 2x-1; b).13x + 2y - 53 = 0; c).13x + 8y + 17 = 0; d).9x - 2y + 24 = 0; e).3x - 2y - 1 = 0]

52.Найди уравнение прямой, параллельной данной линии и проходящей через заданную точку: a).y = 7x - 9, (3, 5); b).3x + 4y - 6 = 0, (2, 1); c).4x - 5y + 9 = 0, (-3, -4); d).y = -5x + 8, (5, 0); e).y = -3x - 9, (1, -3).

[a).y = 7x - 16; b).3x + 4y - 10 = 0; c).4x - 5y - 8 = 0; d).y = -5x + 25; e).y = -3x]

53.Найди уравнение прямой, ортогональной данной линии и проходящей через заданную точку. Все данные из задачи 52(а-e).

[a).x + 7y - 38 = 0; b).4x - 3y - 5 = 0; c).5x + 4y + 31 = 0; d).x - 5y = 5; e).x - 3y - 10 = 0]

54.Найди уравнение прямой, проходящей через заданную точку и образующую с положительным направлением(лучем) оси х заданный угол:

a).(3, 5), 45; b).(1, 2), 30; c).(5, 6), 135; d).(2, 5), 120.

[a).y = x + 2; b).x - 1.732y + 2.464 = 0; c).y + x - 11 = 0; d).1.732x + y - 8.464 = 0]

55.a).Найди уравнение медиан треугольника с вершинами (3, 3), (1, 0) и (5, 1);

b).То же самое для треугольника из задачи 12.(???)

[a).x = 3, x -3y - 1 = 0, 5x + 6y - 19 = 0; b).5x - 12y - 75 = 0, x + 12y - 47 = 0, x = 7]

56.Найди уравнение прямой, параллельной прямой у = 5х + 8 и проходящей через точку пересечения прямых 3х - 4у + 10 = 0 и 2х + 5у - 1 = 0. [y = 5x + 11]

57.a).Найди уравнения высот и срединных перпендикуляров в треугольниках из упражнений 12 и 15.(???) b).Найди точки пересеченния высот и срединных перпендикуляров, найденных тобой в вопросе a. [a).(1) Высоты у + 4х - 17 = 0, 4x - 3y - 35 = 0, 4x - y - 26 = 0; срединные перпендикуляры у+4х-19=0, 8x - 6y - 19 = 0, 4x - y - 24 = 0. (2) Высоты х + 2у - 7 = 0, 2x - 3y - 4 = 0, 3x - y - 11 = 0; срединные перпендикуляры 2х - 3у + 1 = 0, 3x - y - 3 = 0, x + 2y - 4 = 0. b).(1)Высоты (5.375, -4.5), срединные перпендикуляры (3.90625), 3.375). (2) (12.142, -2.571), (6, 1)]

58.Даны три точки А(1, -2), В(3, 6), С(2, 4). Найди четвертую точку D так, чтобы ABCD был параллелограммом. [(2, 0)]

59.2х + 3у - 5 = 0 и 3х - 2у - 14 = 0 это уравнения двух строн квадрата, одна из вершин которого есть (7, 3). Найди уравнения двух других его сторон.

[2x + 3y - 5 13 = 0, 3x - 2y - 27 = 0]

60.Найди координаты центра и длину радиуса следующих окружностей: a).x2 + y2 + 8x - 6y - 144 = 0; b).9x2 + 9y2 - 16x + 36y + 3 = 0; c).3x2 + 3y2 - 4x - 6y - 4 = 0; d).2x2 + 2y2 - 5x = 0; e).x2 + y2 +2x - 10y + 1 = 0; f).x2 + y2 - 16y = 0; g).x2 + y2 - 16 = 0. [a).(-4, 3), 13; b).(8/9, -2), 19/8; c).(2/3, 1), 5/3; d).(1.25, 0), 1.25; e).(-1, 5), 5; f).(0, 8), 8; g).(0, 0), 4]

61.Напиши уравнение окружности с заданными центром и радиусом:

a).(2, 1), 7; b).(0, 1), 3; c).(0, 0), 5; d).(3, 0), 6; e).(-2, 2), 4. [a).x2 + y2 - 4x - 2y - 44 = 0;

b).x2 + y2 - 2y - 8 = 0; c).x2 + y2 = 25; d).x2 + y2 - 6x - 27 = 0; e).x2 + y2 - 4x + 4y - 8 = 0]

62.Каково уравнение окружности, проходящей через точку А, с центром в точке О: a).A = (4, 1), O = (3, 2); b).A = (16, 10), O = (4, 5); c).A = (6, 7), O=(-2, 1); d).A =(7, 2), O=(-5, -3). [a).x2 + y2 - 6x + 4y + 3 = 0; b).x2 + y2 - 8x - 10y - 128 = 0; c).x2 + y2 + 4x - 2y - 95 = 0; d).x2 + y2 + 10x + 6y - 135 = 0]

63.Каково уравнение окружности, проходящей через три следующие точки:

a).(-2, 2), (1, 1), (2, 0); b).(7, 11), (12, 12), (0, 4); c).(2, 1), (6, 2), (4, 10).

[a).x2 + y2 + 4x + 6y - 12 = 0; b).x2 + y2 - 24x + 2y - 24 = 0; c).x2 + y2 - 6x - 11y + 18 = 0]

64.Найди точки пересечения двух данных кривых(прямой + окружности или двух окружностей) и длину хорды. Для двух окружностей найди также уравнение хорды. a).x2 + y2 - 15x - 13y + 36 = 0, 4x + 3y = -12; b).x2 + y2 - 6x - 2y - 15 = 0, 2x - y + 5 = 0; c).x2 + y2 = 50, x2 + y2 + x + y - 58 = 0; d).x2 + y2 - 4x - 6y + 4 = 0, x2 + y2 -2x - 4y - 4 = 0; e).2x2 + 2y2 - 5x + 5y - 3 = 0, x2 + y2 - 3x + 2y - 1 = 0. [a).(3, 0), (0, 4), 5; b).(0, 5), (-2, 1), 20; c).y = 8 - x, (7, 1), (1, 7), 8.485; d).y = 4 - x, (2, 2), (1, 3), 1.414; e).y = 1 - x, (3.186, -2.186), (0.3139, 0.6861), 4.062]

65.Найди уравнение окружности, касающейся оси х, с радиусом, равным 5, центр которой находится на расстоянии 13 от начала координат.

[x2 + y2 + 24x 10y + 144 = 0, x2 + y2 - 24x 10y + 144 = 0]

66.Найди уравнение окружности, касающейся обеих осей, с радиусом, равным 10.

[x2 + y2 + 20x 20y + 100 = 0, x2 + y2 - 20x 20y + 100 = 0]

67.a).Найди уравнение окружности с диаметром АВ, если А(-1, 5), В(7, 3). b).Находится ли точка (2, 8) на этой окружности, внутри или вне ее?

[a).(x - 3)2 + (y - 4)2 = 52; b).Внутри. Расстояние точки от центра 17 < радиуса]

68.a).А(-1, 1), В(4, -1), С(15, 4) - вершины равнобедренного треугольника. Какие из них есть вершины основания и третья вершина. b).Из середин боковых сторон опускают перпендикуляры на основание. Найди координаты средних точек боковых сторон и точки пересечения перпендикуляров с основанием. c).Найди площадь четырехугольника, образованного точками, найденными тобой в b. [a).Основание АВ, третья вершина С. b).Середина ВС - (2.75, 1.5), АС - (0.25, 1.5). Точки на основании - (2.75б -1), (0.25, -1). c).6.25]

69.А(4, 3), В(3, 4), С(-3, -4) - вершины треугольника. a).Докажи, что он - прямоугольный, и найди, в какой вершине угол - прямой. b).Вычисли длину гипотенузы треугольника. c).Вычисли его площадь. [a).А - вершина прямого угла. b).10. c).14]

70.А(4, 14) и В(8, 10) - прилежащие вершины параллелограмма АВСD. Сторона АD лежит на прямой х - 2у + 12 = 0. Диагональ BD параллельна оси х. a).Найди координаты вершины D. b).Найди уравнение прямой, на которой лежит сторона СD. [a).(-4, 10). b).x + y = 3]

71.Каково уравнение окружности, проходящей через две заданные точки с указанным радиусом: a).A(1, 0), B(7, 0), R = 5; b).A(0, 4), B(0, 6), R = 13.

[a).(x - 4)2 + (y 4)2 = 25. b).(x 12)2 + (y + 1)2 = 169]

72.Окружность (x - 8)2 + (y + 6)2 = R2 проходит через начало координат. a).Какова длина R? b).Найди точки пересечения окружности с осями координат. c).Докажи, что прямая, соединяющая две найденные в b точки пересечения, есть диаметр.

[a).10. b).(0, 12), (16, 0)]

73.Одна из сторон параллелограмма находится на оси у, а один из концов ее - в начале координат, второй - в точке (0, 4). Диагонали параллелограмма пересекаются в точке (4, -4). Найди уравнения сторон параллелограмма.

[x = 0, y = -1.5x, x = 8, 3x +2y - 8 = 0]

74.Даны две точки P(-4, 3) и Q(2, 5). a).Найди уравнение окружности, диаметр которой - PQ. b).Аргументируй, где находится точка (-3, 6): на окружности, внутри или вне?

[a).(x+1)2+(y-4)2 = 40. b).Внутри - ее расстояние до центра меньше радиуса]

75.Дан параллелограмм ABCD, в котором А(2, 7), В(4, 5). Сторона AD лежит на прямой у = 0.5х + 6, а диагональ BD параллельна оси х. a).Найди координаты вершины D. b).Найди уравнение прямой, на которой лежит сторона DC.

[a).(-2, 5). b).y + x - 3 = 0]

 

Глава 4. Линейное программирование

4.1. Введение в линейное программирование - цель и понятия

Пусть у фермера имеется 100 дунамов земли, на которой он выращивает овощи на продажу. Однажды он засомневался - стоит ли выращивать на всем участке огурцы? Или - помидоры? Или на части участка - огурцы, а на другой части - помидоры? Если бы фермер выращивал овощи только для собственных нужд, то основой оценки было бы, сколько его семья потребляет овощей каждого вида. Но фермер выращивает овощи на продажу и зарабатывает этим на жизнь своей семьи, поэтому основным фактором должен стать доход - сколько он сможет заработать в год в каждом из возможных вариантов. Предположим фермер определил, что с каждого дунама огурцов он заработает 1000 шекелей, а с каждого дунама, на котором он будет выращивать помидоры, он заработает 1600 шекелей. Речь идет о чистой прибыли, т.е. разнице между приходом и расходом. Очевидно, что в описанном случае мы можем сказать, что предпочтительнее фермеру выращивать помидоры на всех 100 дунамах, т.к. с каждого дунама помидор он заработает больше, чем на дунаме огурцов. Однако выясняется, что у фермера есть ограничение, благодаря которому он не может выращивать помидоры на всех 100 дунамах своего хозяйства. Оно заключается в количестве выделенной ему воды. Дунам помидор для полива нуждается в 10 куб. м. воды, а дунаму огурцов достаточно 5 куб. м. воды. Управление сельского хозяйства выделяет этому фермеру только 550 куб. м., и поэтому он не может выращивать на всех 100 дунамах помидоры(для этого требуется 1000 м.куб. воды). Мы не задаемся вопросом, а если он истратит больше 550 м.куб и за это превышение должен заплатить такую цену, которая обратит его прибыль в убыток. Мы ограничиваемся правилом, что ни в коем случае он не может истратить больше 550 куб. м. воды. Фермер может выращивать помидоры на 55 дунамах, и использовать для этого всю выделенную ему воду. В этом члучае у него останется 45 необработанных дунамов, и он заработает 551600 = 88000 шекелей. Другая возможность - выращивать огурцы на всех 100 дунамах. В этом случае он будет обрабатывать весь свой участок земли(100 дунамов), но не использует всю выделенную ему воду(он использует только 500 куб.м.). Его прибыль, если он изберет эту возможность, составит 1001000 = 100000 шекелей. Это означает, что фермеру предпочтительнее избрать вторую возможность, но является ли она наилучшей? Рассмотрим еще один вариант. На 20 дунамах он будет выращивать помидоры, используя для этого 200 куб.м. воды. Оставшейся водой он воспользуется для выращивания огурцов. Поскольку у него осталось для этого 550 - 200 = 350 куб. м. воды, он сможет выращивать огурцы на 350/5 = 70 дунамах. И его прибыль составит 201600 + 701000 = 102000 шекелей. Т.е. этот третий вариант предпочтительнее двух предыдущих. Но является ли и эта возможность оптимальной (наилучшей), приведет ли она к максимально возможной прибыли? Такого рода задачами и занимается раздел линейного программирования.

Обозначим количество дунамов под помидоры через х, а количество дунамов под огурцы - через у. Прибыль R выражается в виде функции R = 1600x + 1000y. Линейное программирование занимается определением максимальных или минимальных решений для функций такого типа. Метод именуется линейным программированием, поскольку он применяется к случаям функций с переменными только в первой степени (линейные переменные, поэтому функция первой степени описывается прямой линией). Функция, для которой ищут минимум или максимум, называется функцией цели. Рассмотрим математическую функцию R=1600x+1000y. Ее можно безгранично увеличивать посредством выбора очень больших значений х и у. Но в нашей задаче этого нельзя делать, т.к. х и у являются действительными величинами, которые должны отвечать ряду ограничений. И х и у есть величины материальные - число дунамов, и поэтому они не могут быть отрицательными. Кроме того, сумма х и у не может быть больше 100, т.к. у нашего фермера есть только 100 дунамов. Еще одно ограничение связано с количеством воды, требуемой для полива. И ее запрещено тратить больше того, что выделено фермеру - 550 м. куб. Для выращивания х дунамов помидор нужно 10х м.куб. воды, а для полива у дунамов огурцов требуется м.куб. воды, а потому сумма 10х + 5у не может превышать 550 м.куб., т.е. того, что выделено фермеру. Итак, у нас есть всего четыре ограничения:

х 0 (1), у 0 (2), х + у 100 (3), 10х + 5у 550 (4).

И в рамках этих четырех ограничений мы должны найти, когда функция цели R = 1600x + 1000y примет максимальное значение. В ходе нашего курса мы будем заниматься только функциями двух переменных. Для функций двух переменных можно, как мы увидим далее, решать задачи графическим способом. Этот раздел матиматики, занимающийся линейным программированием и имеющий многочисленные прилижения в экономике, управлении и других областях, обслуживает и функции с более чем двумя переменными. Но указанное расширение на большее число переменных не входит в наш учебный материал.

В дальнейшем мы увидим, что решение задачи нахождения максимального и/или минимального значения фукции цели в рамках ограничений, осуществляется по следующим этапам:

a).Математическая запись функции цели и ограничений.

b).Графическое описание всех ограничений и нахождение той части плоскости двух переменных (например, х и у в примере), которая соответствует всем ограничениям. Во многих случаях эта часть плоскости есть многоугольник или многольник, открытый с одной из сторон.

c).Вычисление значений переменных в вершинах многоугольника.

d).Вычисление значения функции цели в вершинах многоугольника. Наибольшее значение функции цели равно наибольшему среди вычисленных в вершинах многоугольника значений.То же самое имеет место и для минимального значения.

Часть из этих утверждений еще не вполне ясны вам - ни для чего, ни почему. Основания и использование сказанного мы рассмотрим далее, сначала для математических уравнений общего(неконкретного) вида, а затем для реальных задач. Теперь нам понятно, для чего будут изучаться следующие разделы.

4.2. Линейные ограничения и их описание на плоскости

Учебная программа ограничивает нас изучением только линейных ограничений. Т.е. таких неравенств, в которых и х и у появляются в степени, не превышающей первой. Общая форма такого неравенства может быть одного из четырех видов: ax + by > c, ax + by c, ax + by < c или ax + by c. a, b и с есть постоянные, которые могут принимать любое значение - положительное, отрицательное или нулевое. Любому такому ограничению соответствует половина плоскости, поделенной на две части прямой ax + by = c. С одной стороны прямой выполняется ax + by > c, а с другой - ax + by < c. Далее в примерах мы научимся различать, какая из двух частей плоскости соответствует одному из указанных неравенств. Обычно различают два понятия : поделить на две части или поделить на две половины. Последним понятием пользуются, когда обе полученные части равны по величине. Поскольку плоскость по определению безгранична, то и ее части(с каждой стороны прямой) безграничны, и у них нет определенной величины. Поэтому можно говорить, что любая прямая делит плоскость на две половины, а не только на две части, т.к. нет у нас одной части, которая больше другой.

1.Найди половину плоскости (х, у), в которой 3x - y > 4. (Рис. 4.1)

Решение. Любое ограничение дается в виде неравенства(обозначение >) или сочетанием неравенства и равенства(обозначение ). Для того, чтобы найти соответствующую полуплоскость, надо нарисовать заданную прямую, для которой эти знаки меняются на знак равенства. Т.е. в нашем случае надо начертить график 3х - у = 4. Согласно изученному в разделе о функциях в эту функцию две переменные входят в степени не превышающей первую и она годится для графического описания прямой линии. Чтобы начертить прямую линию, достаточно двух точек, отвечающих заданному уравнению. Вместе с тем, чтобы обезопасить себя от ошибок, предпочтительнее рисовать прямую по трем точкам. Выберем три произвольных значения х и вычислим для них значения у. К примеру, воспользуемся следующей таблицей:

х

1

2

3

у

-1

2

5

Удобный и простой способ состоит в нахождении двух точек, в которых прямая пересекает оси координат. Напомним, что для любой точки на оси х значение у равно нулю, а для любой точки на оси у значение х равно нулю. Т.о. удобный способ нарисовать прямую состоит в подстановке х = 0 и подстановке у = 0 в уравнение. В нашем случае мы получим точки (0, -4) на оси у и (1.333, 0) на оси х. Поскольку у нас только две точки и мы не можем проверить, допущена ли ошибка, всегда имеет смысл проверить результат по третьей точке.

Прямая у = 3х - 4 (или 3х - у = 4) делит плоскость на две половины. Как узнать, в какой из них выполняется 3х - у > 4, а в какой - 3х - у < 4? Для этого преобразуем неравенство к явной форме. Т.е. нам нужно привести его к виду у > ... или y < ...

Напомним, что правила переноса членов между частями одинаковые и для неравенства и для равенства. В то же время умножение или деление неравенства на отрицательное число приводит к перемене знака неравенства.

3x - y > 4 3x > y + 4 3x - 4 > y или 3x - y > 4/(-1) y - 3x < -4 y < 3x - 4 .

Возьмем какую-нибудь точку на нашей прямой. Для этой точки выполняется равенство у = 3х - 4. Выше приведенное неравенство требует, чтобы значение у для данного х было бы меньше 3х - 4. Меньшее значение у, т.е. ниже соответствующей точки на графике прямой у = 3х - 4. Поскольку нам нужно меньшее значение у, то мы ищем его ниже прямой.

Резюме. Если у нас имеется функция первой степени у = f(x), то ее графическое описание есть прямая линия, а полуплоскость, описываемая неравенством у < f(x), это полуплоскость ниже прямой. А полуплоскость, описываемая неравенством у > f(x), это полуплоскость выше прямой. В нашем случае возможно яснее будет сказать, что y < 3x - 4 это полуплоскость справа от прямой, а y > 3x - 4 есть полуплоскость слева от прямой(см. рис. 4.1). Для нахождения нужной области - справа она или слева от прямой, следует записать функцию как функцию от х, т.е. x > y/3 + 4/3 . Когда х больше, искомая площадь находится справа от линии, а когда х меньше, то полуплоскость слева от линии. Чтобы не путаться с двумя этими возможностями, всегда будем записывать явную функцию у (Рис. 4.2) и рассматривать области над линией и под ней.

2. Рассмотрим одно из ограничений, встреченных в параграфе 4.1: х + у 10.(100!?)

Перенесем х в правую часть неравенства и получим у 10 - х. Нарисуем прямую у = 10 - х. (Рис. 4.3) И здесь в области над прямой выполняется у > 10 - х. Но в противоположность примеру 1 эта область находится справа от линии. Т.е. поскольку мы записали явное уравнение у, не следует глядеть направо или налево, только вверх или вниз от прямой. Вниз от прямой полуплоскость отвечает неравенству у < 10 - х. Наше же ограничение у 10 - х. Различие между этим ограничением и ограничением у < 10 - х состоит в том, что не только нижняя полуплоскость соответствует требованиям ограничения, но также и точки на самой прямой.

Вновь напомним, что для отыскания области, где выполняется у 10 - х, необходимо сперва нарисовать прямую, в уравнении которой знак неравенства заменен на знак равенства. Т.е. надо нарисовать прямую х + у = 10. Для этого надо подготовить таблицу значений трех точек на прямой. В действительности двух точек достаточно, но нам нужно обезопасить себя от ошибки в одной из точек. Если выбирать три близкие точки, есть большая вероятность допустить ошибку. Для выбора точек в таблицу не существует ограничений. Обычно выбирают три небольших значения х и вычисляют соответствующие значения у. К примеру в нашем случае:

х

2

5

8

у

8

5

2

3.До сих пор коэффициент при у был 1 или -1. Посмотрим, что произойдет, если этот коэффициент при у отличен от 1. Рассмотрим ограничен